Himpunan

A.HIMPUNAN

1.Pengertian Himpunan

Perhatikan lingkungan sekitar kalian. Pasti dengan mudahkalian dapat menemukan kumpulan atau kelompok berikut ini.

a.Kumpulan hewan berkaki dua.

b.Kumpulan warna lampu lalu lintas.

c.Kelompok tanaman hias.

Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, danburung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan,karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebutpasti termasuk dalam kumpulan tersebut.Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, danhijau. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan,karena dengan jelas dapat ditentukan anggotanya.

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapatdi definisikan  dengan  jelas, sehingga  dengan  tepat  dapat  diketahui  objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalamhimpunan tersebut.Sekarang, perhatikan kumpulan berikut ini.

a.Kumpulan lukisan indah.

b.Kumpulan wanita cantik di Indonesia.

Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut  himpunan, karenalukisan indah menurut seseorang belum tentu indah menurut oranglain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah tidak dapatdidefinisikan dengan jelas.Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di Indone-sia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurutorang lain. Jadi, kumpulan  wanita  cantik  bukan termasuk  himpunan.

2.Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkandengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atauobjek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis denganmenggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

 3.Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.

a.Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh

:P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b.Dengan notasi pembentuk himpunan.

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubahyang biasa digunakan adalah xatau y.

Contoh

:P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulisP = {10 <

 x< 40, x E bilangan prima}.

c.Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menulis-kannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

              A= {1,2,3,4,5}

4.Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Pada bagian depan telah kalian ketahui bahwa banyaknyaanggota himpunan A dinyatakan dengann(A).Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya maka kalian dapat menentukan banyaknya anggotahimpunan tersebut. Jika A adalah himpunan bilangan prima kurangdari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengann(A) = 5. Himpunan A disebut

Himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota A berhingga.Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4,6, ...}, dengann(B) = tidak berhingga. Himpunan B disebuthimpunantak berhingga, karena banyaknya anggota B tak berhingga.

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebuthimpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggotatak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

 B.HIMPUNAN KOSONG DAN HIMPUNANSEMESTA.

1.Himpunan Kosong dan Himpunan Nol.

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai banyaknya anggota suatu himpunan dan notasinya. Apakah setiaphimpunan pasti mempunyai anggota?Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buahsisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebuthimpunan

kosong 

(tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisi persegi adalah empat.Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyaianggota, dan dinotasikan dengan { } atau o.Jika R = { x| x< 1, xEC} maka R = {0} atau n(R) = 1.Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong.

Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1anggota, yaitu nol (0). N adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahunyang diawali dengan huruf C. Nyatakan N dalam no-tasi himpunan.

2.Himpunan Semesta.

Gambar tersebut menunjukkan kelompok buah-buahan yangterdiri atas pisang, jeruk, apel, dan anggur .

Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta pembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S = {buah-buahan}.Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. Himpunan Smemuat semua anggota himpunan P.

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunanyang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibica-rakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S

D.HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN.

Setelah kalian mempelajari mengenai himpunan dan caramenyatakannya, pada bagian ini kalian akan mempelajari hubunganantarhimpunan.DiketahuiA= {burung, ayam, bebek} danB= {kucing, anjing, ikan}.Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan Ayang menjadi   anggota    himpunan  B.  Demikian  pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunanA. Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuanantara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan Bseperti ini disebut himpunan saling lepasaatau saling asing 

.Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atausaling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyaianggota persekutuan.Selanjutnya,

perhatikan kedua himpunan berikut.

K:{1,2,3,4,5}

L:{1,2,3,5,7}

 Perhatikan bahwa terdapat anggota himpunan K yang juga menjadi  anggota   himpunan L, yaitu {2, 3, 5}. Da lam  hal ini dikatakan bahwa {2, 3, 5} adalah anggota persekutuan dari himpunan K danL. Perhatikan juga bahwa terdapat anggota himpunan K yang tidak menjadi anggota himpunan L, demikian pula sebaliknya. Keadaandua himpunan seperti ini disebut

himpunan tidak saling lepas

(berpotongan).Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih adaanggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukananggota A.Sekarang, perhatikan himpunan A = {t ,i,k ,a} dan himpunanB = {a,t ,i,k }.Ternyata, setiap anggota A termuat dalam B, demikian jugasebaliknya. Dalam hal ini, himpunan A dan B disebut

dua  himpunan  sama, ditulis A = B.Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempu-nyai anggota yang tepat sama.Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggotahimpunan Q, atau n(P) =n(Q) maka P dan Q dikatakanekuivalen.Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

E.OPERASI HIMPUNAN1.Irisan Dua Himpunan

a.Pengertian irisan dua himpunan

Cobalah kalian ingat kembali tentang anggota persekutuandari dua himpunan.Misalkan

A = {1, 3, 5, 7 , 9}

B =     {2, 3, 5, 7 }

Anggota hipunan A dan B adalah anggota himpunan A dansekaligus menjadi anggota himpunan B = {3, 5, 7}.Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggotahimpunan B disebut

anggota persekutuan

dari A dan B.Selanjutnya, anggota persekutuan dua himpunan disebut irisandua himpunan, dinotasikan dengan

n(ndibaca: irisan atau interseksi,AnB={3,5,7}